7 Asymptoten & Limieten
7.1 Introductie
Een asymptoot is een lijn, die door een functie wordt benaderd, maar nooit precies bereikt. Asymptoten zijn een wiskundig concept dat belangrijk kan zijn in biologische modellen, vooral om te begrijpen hoe een functie zich gedraagt wanneer de variabele heel groot of heel klein wordt. Dit is vooral handig voor inzicht in biologische systemen op de langere termijn. Ook bij het schetsen van een grafiek zijn asymptoten vaak een handig hulpmiddel. Dit hoofdstuk beschrijft wat verticale en horizontale asymptoten zijn en hoe je ze kunt vinden.
7.2 Horizontale asymptoten
Een horizontale asymptoot is een lijn met de vorm \(y=a\). De grafiek benadert deze horizontale lijn voor hele grote of hele kleine waarden van \(x\). Wiskundig heten deze “hele grote” en “hele kleine” waarden limieten.
De notatie hiervoor is als volgt:
\[\lim_{x \rightarrow +\infty}{f(x)} = a\]
Als de functie \(a\) benadert voor hele grote positieve waarden van \(x\), of: \[\lim_{x \rightarrow -\infty}{f(x)} = a\]
Als de functie \(a\) benadert voor hele grote negatieve waarden van \(x\). Zoals je uit deze notatie kunt aflezen kun je horizontale asymptoten vinden door te kijken of de grafiek een waarde benadert voor \(x \rightarrow \pm \infty\).
Voorbeeld
Een voorbeeld van een functie met een horizontale asymptoot is: \[f(x) = 5 + \frac{1}{x}\] Als we hele grote waarden voor \(x\) invullen in deze functie, dan komt de uitkomst steeds dichter in de buurt van 5. Dit geldt zowel voor grote positieve als negatieve waarden. Doordat \(1\over x\) nooit gelijk aan 0 kan worden, zal \(f(x)\) nooit precies 5 worden. Daarom heeft deze functie een horizontale asymptoot \(y = 5\).
7.3 Verticale asymptoten
Een verticale asymptoot is een lijn met de vorm \(x=a\). Dit betekent dat de waarde van \(f(x)\) voor \(x=a\) naar oneindig gaat. Dit kan zowel plus als min oneindig zijn. In wiskundige notatie betekent dat: \[\lim_{x \uparrow 0}{f(x)} = \pm \infty\] als de asymptoot bereikt wordt vanaf de “onderkant” (vanaf het negatieve domein / de linkerkant van een grafiek) door x te verhogen tot \(x=a\). Of, als de asymptoot vanaf de “bovenkant” (vanaf het positieve domein / de rechterkant) bereikt wordt door x te verlagen tot \(x=a\). \[\lim_{x \downarrow 0}{f(x)} = \pm \infty\]
Voorbeeld
De hierboven genoemde functie \(f(x) = 5 + \frac{1}{x}\) heeft niet alleen een horizontale asymptoot, maar ook een verticale asymptoot. Dit is vaak het geval bij functies waarbij de variabele in de noemer van een breuk staat, omdat we niet kunnen delen door 0. Zoals je hebt geleerd is delen hetzelfde als vermenigvuldigen met het omgekeerde. Delen door een heel klein getal is dus hetzelfde als vermenigvuldigen met een heel groot getal. Delen door 0 (oneindig klein), is dus hetzelfde als vermenigvuldigen met oneindig. Omdat “oneindig” geen echte hoeveelheid is, en eigenlijk alleen als concept bestaat, wordt er meestal gezegd dat de functie niet gedefiniëerd is wanneer er door 0 gedeeld wordt.
Om de functie te kunnen schetsen, moeten we weten hoe het eruit ziet rondom het punt \(x=0\). Als \(x\) net iets groter is dan 0, wordt \(f(x)\) heel groot. Dit komt doordat delen door een heel klein positief getal een hele grote positieve uitkomst geeft. Als we \(x=0\) benaderen vanuit het negatieve domein, delen we door een hele kleine negatieve waarde, wat een hele grote negatieve waarden als uitkomst geeft. Dit is waarom Figuur 7.1 de vorm heeft zoals weergegeven.
7.4 Limieten bepalen
1. Limieten voor \(x\to \infty\)
Wanneer \(x\) naar oneindig gaat, kun je niet simpelweg \(x= \infty\) invullen, omdat oneindig geen getal is. Kijk in plaats daarvan naar het gedrag van de functie voor grote waarden van \(x\). Voor functies zoals \(f(x)=ax^3-bx^2\) moet je kijken naar de termen met de hoogste macht van \(x\): deze termen spelen altijd de overhand als \(x\) heel groot is. In dit geval is \(ax^3\) de term met de hoogste macht van \(x\). Dit betekent dat het positieve gedeelte van de functie (\(ax^3\)) sneller toeneemt dan het negatieve gedeelte (\(-bx^2\)). De functie zal dus steeds groter worden naarmate \(x\) groter wordt, dus: \[ \lim_{x \to \infty} ax^3 - bx^2= \infty\]
2. Limieten van rationale functies
Rationale functies zijn functies die een breuk bevatten, in de vorm \(f(x)={p(x) \over g(x)}\). Bij het berekenen van limieten van deze functies kun je de volgende regels toepassen:
| Omschrijving | Wiskundige notatie |
|---|---|
| Als je een constante deelt door \(x\), gaat de uitkomst naar 0 voor grote waarden van \(x\) (\(x \rightarrow \infty\)) | \(\lim_{x \to \infty } {C \over x} =0\) |
| Als je een constante deelt door \(x\), gaat de uitkomst naar \(\infty\) wanneer \(x \rightarrow 0\) | \(\lim_{x \to 0 } {C \over x} =\infty\) |
| Als je \(x\) deelt door een constante, gaat de uitkomst naar \(\infty\) voor grote waarden van \(x\) | \(\lim_{x \to \infty } {x \over C} =\infty\) |
| Als je \(x\) deelt door een constante, gaat de uitkomst naar \(0\) wanneer \(x \rightarrow 0\) | \(\lim_{x \to 0 } {x \over C} = 0\) |
Limieten bepalen
Voor de meeste functies kun je eenvoudig limieten bepalen door de volgende regels toe te passen:
- Vind de hoogste macht van \(x\) in de functie.
- Deze term (met de hoogste macht) zal de overhand hebben.
- Gaat deze term naar oneindig? Dan is de limiet oneindig. Gaat deze term naar 0? Dan is de limiet 0.
Soms is een functie echter minder eenvoudig, en moet je deze eerst herschrijven (vereenvoudigen) om in te kunnen zien wat de limieten zijn. Als \(x\) bijvoorbeeld zowel in de teller als noemer staat, kun je deze herschrijven door zowel teller als noemer te delen door de hoogste macht van \(x\). Dan kun je toch inzien wat er zal gebeuren. Bijvoorbeeld:
\[ f(x) = \frac{2x^3 + x^2}{x^3 - 3x^2} = \frac{\frac{2x^3}{x^3} + \frac{x^2}{{x^3}}}{\frac{x^3}{x^3} - \frac{3x^2}{x^3}} = \frac{2+\frac{1}{x}}{1 - \frac{3}{x}} \] Nu kun je zien dat wanneer \(x\) naar oneindig gaat, de breuken 0 naderen en de functie dus \({2 \over 1} = 2\) zal naderen.
7.5 Opdrachten
Oefening 7.1
Bepaal de volgende limieten:
a. \(\lim_{x\to\infty}3x^2-2x+5\)
b. \(\lim_{ x \to 0+} {1 \over x}\) (let op: nadert 0 vanuit het positieve domein)
c. \(\lim_{ x \to 0-} {1 \over x}\) (let op: nadert 0 vanuit het negatieve domein)
d. \(\lim_{x \to \infty}{x \over x+2}\)
e. \(\lim_{x \to \infty}{1 \over a+x}\)
f. \(\lim_{x \to \infty}{(ax^2+b) \over cx^3}+d\)
Oefening 7.2
Bepaal de asymptoten van de volgende functies:
a. \(f(x) = {x \over x-2} + 1\)
b. \(f(x) = {ax \over bx+c} - d\) waarbij \(d>a/b\)