Antwoorden wiskunde
Antwoorden 4 Algebra
a.
\(3x + 5 = 11\)
\(3x = 6\)
\(x = 6/3 = 2\)
\(3x = 6\)
\(x = 6/3 = 2\)
b.
\(x^2 + 2x - 8 = 0\)
\((x + 4)(x - 2) = 0\)
\(x = -4\) of \(x = 2\)
Alternatieve methode: \(abc\)-formule:
\(a=1\), \(b=2\), \(c=-8\)
\(x_{1,2} = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4\cdot-8}}{2}\)
\(x_{1,2} = \frac{-2 \pm \sqrt{4 -- 32}}{2}\)
\(x_{1,2} = \frac{-2 \pm \sqrt{36}}{2}\)
\(x_{1,2} = \frac{-2 \pm 6}{2}\)
\(x_{1} = \frac{-2 + 6}{2} = \frac{4}{2} = 2\)
\(x_{2} = \frac{-2 - 6}{2} = \frac{-8}{2} = -4\)
\((x + 4)(x - 2) = 0\)
\(x = -4\) of \(x = 2\)
Alternatieve methode: \(abc\)-formule:
\(a=1\), \(b=2\), \(c=-8\)
\(x_{1,2} = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4\cdot-8}}{2}\)
\(x_{1,2} = \frac{-2 \pm \sqrt{4 -- 32}}{2}\)
\(x_{1,2} = \frac{-2 \pm \sqrt{36}}{2}\)
\(x_{1,2} = \frac{-2 \pm 6}{2}\)
\(x_{1} = \frac{-2 + 6}{2} = \frac{4}{2} = 2\)
\(x_{2} = \frac{-2 - 6}{2} = \frac{-8}{2} = -4\)
c.
\(x^2 - 9 = 0\)
\(x^2 = 9\)
\(x = \pm \sqrt{9} = \pm 3\)
\(x^2 = 9\)
\(x = \pm \sqrt{9} = \pm 3\)
\((ax-2by)(3y-4bx)+2b(2ax^2+3y^2)-8xyb^2 =\)
\(ax\cdot3y - ax\cdot4bx - 2by\cdot3y + 2by\cdot4bx + 2b\cdot2ax^2 + 2b\cdot3y^2 -8xyb^2 =\)
\(3axy - 4abx^2 - 6by^2 + 8xyb^2 + 4abx^2 + 6by^2 - 8xyb^2 =\)
\(3axy\)
\(ax\cdot3y - ax\cdot4bx - 2by\cdot3y + 2by\cdot4bx + 2b\cdot2ax^2 + 2b\cdot3y^2 -8xyb^2 =\)
\(3axy - 4abx^2 - 6by^2 + 8xyb^2 + 4abx^2 + 6by^2 - 8xyb^2 =\)
\(3axy\)
a.
\(3r + 2 -5r-5 = 6r+4\)
\(-2r-3=6r+4\)
\(-7=8r\)
\(r=-{7 \over 8}\)
\(-2r-3=6r+4\)
\(-7=8r\)
\(r=-{7 \over 8}\)
b.
Er staat een x onder de breuk, dus eerst werken we die weg: | \(x + {4 \over x} = 4\) | \(x^2+4=4x\) en \(x\neq0\) | \(x^2-4x+4=0\) Nu hebben we een kwadratische vergelijking gelijk gesteld aan 0. Deze kunnen we op twee manieren verder oplossen. Je kan het bijvoorbeeld uitwerken met de ABC-formule:
\(x_{1,2}={4 \pm \sqrt{4^2-4*1*4} \over 2}\)
\(x_{1,2}=2 \pm \sqrt{0}=2\)
\(x_{1,2}=2 \pm \sqrt{0}=2\)
Of je zou kunnen zien dat je de kwadratische vergelijking kan ontbinden in factoren:
\(x^2-4x+4=0\)
\((x-2)^2=0\)
\((x-2)^2=0\)
Waardoor je kan zien dat \(x\) = 2 het enige antwoord is: alleen dan is de vergelijking gelijk aan 0.
c.
\((b-{N \over k})N=0\)
\(N=0\), of \(b - {N \over k} =0\)
\(N=bk\)
\(N=0\), of \(b - {N \over k} =0\)
\(N=bk\)
d.
\(N=0\), of \(b-d(1+{N \over k})=0\)
\(d(1+{N \over k})=b\)
\((1+{N \over k})={b\over d}\)
\({N \over k}={b \over d}-1\)
\(N=k({b\over d} -1)\)
\(d(1+{N \over k})=b\)
\((1+{N \over k})={b\over d}\)
\({N \over k}={b \over d}-1\)
\(N=k({b\over d} -1)\)
e.
\(N=0\), of \({b \over 1+N/h}-d=0\)
\({b \over 1+N/h}=d\)
\(b=d(1+N/h)\)
\(b=d+(d/h)N\)
\(b-d=(d/h)N\)
\(N={(b-d)h \over d}\)
\(N=h{b-d \over d}\)
\(N=h({b \over d}-1)\)
\({b \over 1+N/h}=d\)
\(b=d(1+N/h)\)
\(b=d+(d/h)N\)
\(b-d=(d/h)N\)
\(N={(b-d)h \over d}\)
\(N=h{b-d \over d}\)
\(N=h({b \over d}-1)\)
a. \[{x_{11}} + {x_{12}} + {x_{13}} = \sum_{i=11}^{13}(x_i)\]
b. \[{x_1}^3 + {x_2}^3 + {x_3}^3 + {x_4}^3 = \sum_{i=1}^{4}({x_i}^3)\]
c. \[1^2 + 2^3 + 3^4 + 4^5 = \sum_{i=1}^{4}(i^{i+1})\]
Antwoorden 5 Breuken
a. \(\frac{1}{7}\cdot\frac{2}{4} = \frac{2}{28} = \frac{1}{14}\)
b. \(\frac{1}{6}-\frac{2}{3}=\frac{3}{18}-\frac{12}{18}=-\frac{9}{18}=-\frac{1}{2}\)
c. \(\frac{2}{3}:\frac{4}{5}=\frac{2}{3}\cdot\frac{5}{4}=\frac{10}{12}=\frac{5}{6}\)
d. \(\frac{4}{12}+\frac{5}{36}=\frac{12}{36}+\frac{5}{36}=\frac{17}{36}\)
\(2400-(\frac{1}{3}+\frac{1}{7}+\frac{1}{4})2400+\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{3}\cdot2400=\)
\(2400-(\frac{1\cdot7\cdot4}{3\cdot7\cdot4}+\frac{1\cdot3\cdot4}{7\cdot3\cdot4}+\frac{1\cdot3\cdot7}{4\cdot3\cdot7})2400+\frac{1}{9}\cdot2400=\)
\(2400-(\frac{28}{84}+\frac{12}{84}+\frac{21}{84})2400+\frac{1}{9}\cdot2400=\)
\(2400-\frac{61}{84}\cdot2400+\frac{2400}{9}=\)
\(2400-\frac{146400}{84}+\frac{2400}{9}=\)
\(2400-1742,85+266,67=\)
\(2400-1476,18=923,81\)
\(2400-(\frac{1\cdot7\cdot4}{3\cdot7\cdot4}+\frac{1\cdot3\cdot4}{7\cdot3\cdot4}+\frac{1\cdot3\cdot7}{4\cdot3\cdot7})2400+\frac{1}{9}\cdot2400=\)
\(2400-(\frac{28}{84}+\frac{12}{84}+\frac{21}{84})2400+\frac{1}{9}\cdot2400=\)
\(2400-\frac{61}{84}\cdot2400+\frac{2400}{9}=\)
\(2400-\frac{146400}{84}+\frac{2400}{9}=\)
\(2400-1742,85+266,67=\)
\(2400-1476,18=923,81\)
\(\frac{6}{r} - \frac{5r}{30r+5} =\)
\(\frac{6(30r + 5)}{r(30r + 5)} - \frac{5r\cdot r}{r(30r+5)} =\)
\(\frac{180r + 30}{30r^2 + 5r} - \frac{5r^2}{30r^2+5r} =\)
\(\frac{-5r^2 + 180r + 30}{30r^2 + 5r} =\)
\(\frac{-r^2 + 36r + 6}{6r^2 + r}\)
\(\frac{6(30r + 5)}{r(30r + 5)} - \frac{5r\cdot r}{r(30r+5)} =\)
\(\frac{180r + 30}{30r^2 + 5r} - \frac{5r^2}{30r^2+5r} =\)
\(\frac{-5r^2 + 180r + 30}{30r^2 + 5r} =\)
\(\frac{-r^2 + 36r + 6}{6r^2 + r}\)
\(\frac{a}{b}x - \frac{c}{d} = \frac{e}{f}\)
\(\frac{a}{b}x=\frac{e}{f}+\frac{c}{d}\)
\(\frac{a}{b}x=\frac{ed+cf}{df}\)
\(x=\frac{(ed+cf)b}{afd}\)
\(\frac{a}{b}x=\frac{e}{f}+\frac{c}{d}\)
\(\frac{a}{b}x=\frac{ed+cf}{df}\)
\(x=\frac{(ed+cf)b}{afd}\)
\(25A\div\frac{3}{7} = 12 - \frac{1}{3}A\)
\(25 A \cdot\frac{7}{3}=12-\frac{1}{3}A\)
\(\frac{175}{3}A=12-\frac{1}{3}A\)
\(\frac{176}{3}A=12\)
\(A=12\frac{3}{176}=\frac{36}{176}=\frac{18}{88}=\frac{9}{44}\)
\(25 A \cdot\frac{7}{3}=12-\frac{1}{3}A\)
\(\frac{175}{3}A=12-\frac{1}{3}A\)
\(\frac{176}{3}A=12\)
\(A=12\frac{3}{176}=\frac{36}{176}=\frac{18}{88}=\frac{9}{44}\)
Antwoorden 6 Exponenten & Logaritmen
a. \(7^{345} \cdot 7^5 = 7^{345 + 5} = 7^{350}\)
b. \(32^{20} \cdot 32^{18} = 32^{20 + 18} = 32^{38}\)
c. \(2^5 \cdot 2^2 \cdot 2^3 = 2^{5 + 2 + 3} = 2^{10}\)
d. \(3^{25} \cdot 3^{25} \cdot 3^{25} = (3^{25})^3 = 3^{3 \cdot 25} = 3^{75}\)
Of: \(3^{25} \cdot 3^{25} \cdot 3^{25} = 3^{25+25+25} = 3^{75}\)
a. \(\log{100} = 2\), want \(10^2 = 100\)
b. \(^2\log{64} = 6\), want \(2^6 = 64\)
c. \(^8\log{512} = 3\), want \(8^3 = 512\)
d. \(^5\log{125} = 3\), want \(5^3 = 125\)
Het aantal bacteriën na \(n\) generaties wordt beschreven in Vergelijking 6.1 .
In 3 uur deelt Bacillus cereus \(3 / 0,5 = 6\) keer. Dus, \(n=6\).
Het aantal bacteriën waarmee we starten, \(s\), is gelijk aan 100.
Invullen in de formule geeft:
\(B = 100 \cdot 2^6 = 100 \cdot 64 = 6400\) bacteriën na 3 uur.
In 3 uur deelt Bacillus cereus \(3 / 0,5 = 6\) keer. Dus, \(n=6\).
Het aantal bacteriën waarmee we starten, \(s\), is gelijk aan 100.
Invullen in de formule geeft:
\(B = 100 \cdot 2^6 = 100 \cdot 64 = 6400\) bacteriën na 3 uur.
Eerst bepalen we de delingssnelheid van de kolonie:
In twee uur tijd (\(5 - 3 = 2\)) is het aantal bacteriën gegroeid van 10.000 naar 40.000. Het aantal bacteriën is dus verviervoudigd (\(40.000/10.000=4\)). Dit betekent dat elke bacterie \(^2\log{4} = 2\) delingen heeft gedaan in 2 uur tijd. Gemiddeld is dat dus één deling per uur.
Nu kunnen we Vergelijking 6.1 gebruiken om te berekenen hoeveel bacteriën er waren op tijdstip 0:
\(B = s\cdot2^n\)
Het aantal bacteriën \(B\) weten we, net als het aantal delingen \(n\).
Na 3 uur geldt \(B = 10.000\) en \(n = 3\).
\(10.000 = s\cdot2^3\)
\(10.000 = s\cdot8\)
\(s = 10.000 / 8 = 1250\) bacteriën op tijdstip 0.
In twee uur tijd (\(5 - 3 = 2\)) is het aantal bacteriën gegroeid van 10.000 naar 40.000. Het aantal bacteriën is dus verviervoudigd (\(40.000/10.000=4\)). Dit betekent dat elke bacterie \(^2\log{4} = 2\) delingen heeft gedaan in 2 uur tijd. Gemiddeld is dat dus één deling per uur.
Nu kunnen we Vergelijking 6.1 gebruiken om te berekenen hoeveel bacteriën er waren op tijdstip 0:
\(B = s\cdot2^n\)
Het aantal bacteriën \(B\) weten we, net als het aantal delingen \(n\).
Na 3 uur geldt \(B = 10.000\) en \(n = 3\).
\(10.000 = s\cdot2^3\)
\(10.000 = s\cdot8\)
\(s = 10.000 / 8 = 1250\) bacteriën op tijdstip 0.
a.
als \(\log (2x) = 3\) dan \(10^3 = 2x\)
\(2x = 1000\)
\(x = 1000/2 = 500\)
\(2x = 1000\)
\(x = 1000/2 = 500\)
b.
\(5e^x=11\)
\(e^x=11/5\)
\(x = \ln{11 \over 5} = 0.788\)
\(e^x=11/5\)
\(x = \ln{11 \over 5} = 0.788\)
c.
als \(\log_2(64^x)=36\) dan \(2^{36} = 64^x\)
aangezien \(64=2^6\) kunnen we dit ook schrijven als \(2^{36} = (2^6)^x\)
\(2^{36} = 2^{6x}\)
\(36 = 6x\)
\(x = 36/6 = 6\)
aangezien \(64=2^6\) kunnen we dit ook schrijven als \(2^{36} = (2^6)^x\)
\(2^{36} = 2^{6x}\)
\(36 = 6x\)
\(x = 36/6 = 6\)
\(\frac{(n^{-3})^4}{(n^{4}p^{-3})^{-3}}=\frac{n^{-3\cdot4}}{n^{4\cdot-3}p^{-3\cdot-3}}=\frac{n^{-12}}{n^{-12}p^{9}}= \frac{1}{p^9} = p^{-9}\)
Antwoorden 7 Asymptoten & Limieten
a. Focus op de hoogste macht van \(x\) in de functie: \(3x^2\). Dit is een positieve term, dus de hele functie gaat naar \(+ \infty\) als \(x\to\infty\).
b. We benaderen de asymptoot \(x=0\) vanaf de positieve kant. \(1\over x\) voor een hele kleine \(x\)-waarde resulteert in een grote positieve waarde, dus de functie gaat naar \(+ \infty\).
c. We benaderen de asymptoot \(x=0\) vanaf de negatieve kant. \(1\over x\) voor een hele kleine negatieve \(x\)-waarde resulteert in een grote negatieve waarde, dus de functie gaat naar \(- \infty\).
d. In de limiet van \(x\) naar oneindig, staat hier dus eigenlijk “oneindig” gedeeld door “oneindig+2”. Die “+2” is dan niet zo belangrijk meer (deze wordt verwaarloosbaar). In de limiet staat hier dus \(x\) gedeeld door \(x\), wat gelijk is aan 1. De functie gaat dus naar 1.
e. In de limiet van \(x\) naar oneindig, staat hier dus eigenlijk “1” gedeeld door “oneindig+a”. Die \(a\) is een constante waarde (dus is deze is net als de waarde 2 in vraag d, verwaarloosbaar). Als je 1 deelt door 1000 krijg je een duizendste. Als je 1 deelt door 1,000,000 krijg je een miljoenste. Als we zo door redeneren: als je 1 deelt door oneindig dan naderen we 0. De functie gaat dus naar 0. (let op dat je wiskundig helemaal niet door 0 “mag” delen, want daar krijg je rare stellingen van zoals de in het college besproken stelling dat 1 gelijk is aan 2)
f. Dit is een rationale functie, dus we kunnen het stappenplan zoals omschreven in het boek gebruiken:
1. De grootste macht van \(x\) is \(x^3\).
2. Delen door \(x^3\) geeft \({{ax^2 \over x^3}+{b \over x^3} \over {cx^3 \over x^3}}+d = {{a \over x}+{b \over x^3} \over c}+d\).
2. Delen door \(x^3\) geeft \({{ax^2 \over x^3}+{b \over x^3} \over {cx^3 \over x^3}}+d = {{a \over x}+{b \over x^3} \over c}+d\).
Opgelet
\(d\) wordt niet gedeeld door \(x^3\), omdat deze niet in de breuk staat. | We mogen elke term in de breuk delen door dezelfde waarde, omdat we daarmee niet de uitkomst van de breuk veranderen. Als we echter een enkele waarde delen door een factor, dan krijgen we een hele andere uitkomst.
3. De limiet wordt dan: \({0+0 \over c}+d = d\)
a.
Horizontale asymptoot: \(y=2\)
\(\lim_{x\to\pm\infty} \frac{x}{x-2}+1=2\), want
1. De grootste macht van \(x\) is \(x\).
2. Delen door \(x\) geeft \({{x \over x} \over {x \over x}-{2 \over x}} + 1 = {1 \over 1-{2 \over x}} + 1\)
1. De grootste macht van \(x\) is \(x\).
2. Delen door \(x\) geeft \({{x \over x} \over {x \over x}-{2 \over x}} + 1 = {1 \over 1-{2 \over x}} + 1\)
3. De limiet wordt dan: \({1 \over 1 - 0} + 1 = 2\)
Verticale asymptoot: \(x=2\)
We hebben een verticale asymptoot als er een waarde voor \(x\) is waarbij we door 0 moeten delen (de noemer is gelijk aan 0). Dit is het geval als \(x-2=0\) dus voor \(x=2\).
b.
Horizontale asymptoot: \(y={a \over b+0} - d\)
1. De grootste macht van \(x\) is \(x\).
2. Delen door \(x\) geeft \({{ax \over x} \over {bx \over x}+{c \over x}} - d = {a \over b+{c \over x}} - d\)
3. De limiet wordt dan: \({a \over b+0} - d\)
Omdat \(d > a/b\), bevindt de asymptoot zich in het negatieve domein.
Verticale asymptoot: \(x=-{c \over b}\)
We hebben een verticale asymptoot als er een waarde voor \(x\) is waarbij we door 0 moeten delen (de noemer is gelijk aan 0). Dit is het geval als \(bx+c=0\) dus voor \(x=-{c \over b}\).
Antwoorden 8 Afgeleiden
a. \(f'(x)=2x+15\)
b. \(f'(x)=5\cdot12x^4=60x^4\)
c. \(f'(x)=-4\cdot7x^{-5}=-\frac{28}{x^5}\)
d. \(f'(x)=3\cdot ax^2-5\cdot bx^4\)
Zoals je in de tabel kunt zien, is de afgeleide van \(f(x)=e^x\) gelijk aan \(f'(x)=e^x\). Het is nuttig om exponentiële groei op te schrijven met het grondtal \(e\) (het getal van Euler, ongeveer gelijk aan 2,718), omdat dit het berekenen en differentiëren van exponentiële functies aanzienlijk vereenvoudigt, vooral in natuurwetenschappen, economie en wiskunde.
Wanneer we een exponentiële functie hebben van de vorm \(f(x)=ae^{bx}\), dan is de afgeleide van deze functie simpelweg \(f'(x)=b \cdot ae^{bx}\). Dit komt doordat de afgeleide van \(f(x)=ae^{bx}\) direct een vermenigvuldiging van de originele functie met de constante \(b\) oplevert. Dit maakt het rekenen met groeifactoren veel eenvoudiger en overzichtelijker dan wanneer een ander grondtal zou worden gebruikt.
Daarnaast wordt \(e\) vaak beschouwd als de natuurlijke groeifactor, omdat processen in de natuur, zoals populatiegroei en radioactief verval, vaak op een manier groeien of afnemen die goed beschreven kan worden door een functie met grondtal \(e\). Hierdoor wordt het gebruik van \(e\) niet alleen wiskundig handig, maar ook intuïtief passend bij de manier waarop veel natuurlijke processen zich gedragen.
Antwoorden 9 Functies schetsen
a. \(y=3-6x\)
1. Snijpunten met de x-as:
\(y = 0 \quad \Rightarrow \quad 3 - 6x = 0 \quad \Rightarrow \quad x = \frac{1}{2}\)
2. Snijpunten met de y-as:
\(y = 3 - 6 \cdot 0 = 3\)
3. Horizontale asymptoten:
Geen.
4. Verticale asymptoten:
Geen.
5: Minima en maxima:
Geen.
\(y = 0 \quad \Rightarrow \quad 3 - 6x = 0 \quad \Rightarrow \quad x = \frac{1}{2}\)
2. Snijpunten met de y-as:
\(y = 3 - 6 \cdot 0 = 3\)
3. Horizontale asymptoten:
Geen.
4. Verticale asymptoten:
Geen.
5: Minima en maxima:
Geen.
b. \(y=px+q\)
1. Snijpunten met de x-as:
\(y = 0 \quad \Rightarrow \quad px + q = 0 \quad \Rightarrow \quad x = -\frac{q}{p}\)
2. Snijpunten met de y-as:
\(y = f(0) = p \cdot 0 + q = q\)
3. Horizontale asymptoten:
Geen.
4. Verticale asymptoten:
Geen.
5: Minima en maxima:
Geen.
\(y = 0 \quad \Rightarrow \quad px + q = 0 \quad \Rightarrow \quad x = -\frac{q}{p}\)
2. Snijpunten met de y-as:
\(y = f(0) = p \cdot 0 + q = q\)
3. Horizontale asymptoten:
Geen.
4. Verticale asymptoten:
Geen.
5: Minima en maxima:
Geen.
c. \(y=x-3x^2\)
1. Snijpunten met de x-as:
\(y = 0 \quad \Rightarrow \quad x(1 - 3x) = 0 \quad \Rightarrow \quad x = 0 \text{ of } x = \frac{1}{3}\)
2. Snijpunten met de y-as:
\(y = f(0) = 0 - 2\cdot 0^2 = 0\)
3. Horizontale asymptoten:
Geen.
4. Verticale asymptoten:
Geen.
5: Minima en maxima:
De afgeleide is \(f'(x) = 1 - 6x\).
Gelijkstellen aan 0 om de minima en maxima te bepalen:
\(f'(x) = 1 - 6x = 0\)
\(x = 1/6\)
De y-waarde op \(x = 1/6\) is:
\(f(1/6) = \frac{1}{6} - 3 \left( \frac{1}{6} \right)^2 = \frac{1}{6} - \frac{1}{12} = \frac{1}{12}\)
\(y = 0 \quad \Rightarrow \quad x(1 - 3x) = 0 \quad \Rightarrow \quad x = 0 \text{ of } x = \frac{1}{3}\)
2. Snijpunten met de y-as:
\(y = f(0) = 0 - 2\cdot 0^2 = 0\)
3. Horizontale asymptoten:
Geen.
4. Verticale asymptoten:
Geen.
5: Minima en maxima:
De afgeleide is \(f'(x) = 1 - 6x\).
Gelijkstellen aan 0 om de minima en maxima te bepalen:
\(f'(x) = 1 - 6x = 0\)
\(x = 1/6\)
De y-waarde op \(x = 1/6\) is:
\(f(1/6) = \frac{1}{6} - 3 \left( \frac{1}{6} \right)^2 = \frac{1}{6} - \frac{1}{12} = \frac{1}{12}\)
d. \(y=(a-x) \cdot (b-x) \cdot (c-x)\)
1. Snijpunten met de x-as:
\(y = 0 \quad \Rightarrow \quad (a - x)(b - x)(c - x) = 0\)
Snijpunten op de x-as op: \(x=a\), \(x=b\) en \(x=c\). Omdat we aannamen dat a kleiner is dan b, en b kleiner is dan c, zitten de snijpunten met de x-as dus in omgekeerde volgorode: eerst c, dan b, en dan a.
2. Snijpunten met de y-as:
\(y = f(0) = (a-0) \cdot (b-0 \cdot (c-0) = abc\)
3. Horizontale asymptoten:
Geen.
4. Verticale asymptoten:
Geen.
5: Minima en maxima:
Tussen de snijpunten met de x-as, afhankelijk van de waarden van \(a\), \(b\) en \(c\). We kunnen nu twee curves tekenen die door deze drie snijpunten gaat: eentje die dalend begint, dan omhoog gaat, en dan weer naar beneden, en eentje die stijgend begint, dan naar beneden gaat, en dan weer omhoog. Als we willen weten welke van deze het goede antwoord is, kunnen we kijken wat er gebeurt als \(x>c\), dus als we rechts van alle snijpunten zitten. Hier zijn alle drie de termen tussen de haakjes negatief, dus krijgen we een negatief getal keer een negatief getal (positief), keer een negatief getal (weer negatief). Rechts van \(c\) zal de functie dus negatief zijn. Met deze invormatie kun je een vloeiende lijn schetsen die al deze punten raakt. Je kan je schets zelf controlleren om de juiste waarden in te vullen op Desmos:
\(y = 0 \quad \Rightarrow \quad (a - x)(b - x)(c - x) = 0\)
Snijpunten op de x-as op: \(x=a\), \(x=b\) en \(x=c\). Omdat we aannamen dat a kleiner is dan b, en b kleiner is dan c, zitten de snijpunten met de x-as dus in omgekeerde volgorode: eerst c, dan b, en dan a.
2. Snijpunten met de y-as:
\(y = f(0) = (a-0) \cdot (b-0 \cdot (c-0) = abc\)
3. Horizontale asymptoten:
Geen.
4. Verticale asymptoten:
Geen.
5: Minima en maxima:
Tussen de snijpunten met de x-as, afhankelijk van de waarden van \(a\), \(b\) en \(c\). We kunnen nu twee curves tekenen die door deze drie snijpunten gaat: eentje die dalend begint, dan omhoog gaat, en dan weer naar beneden, en eentje die stijgend begint, dan naar beneden gaat, en dan weer omhoog. Als we willen weten welke van deze het goede antwoord is, kunnen we kijken wat er gebeurt als \(x>c\), dus als we rechts van alle snijpunten zitten. Hier zijn alle drie de termen tussen de haakjes negatief, dus krijgen we een negatief getal keer een negatief getal (positief), keer een negatief getal (weer negatief). Rechts van \(c\) zal de functie dus negatief zijn. Met deze invormatie kun je een vloeiende lijn schetsen die al deze punten raakt. Je kan je schets zelf controlleren om de juiste waarden in te vullen op Desmos:
e. \(y=x^3-5x^2\)
1. Snijpunten met de x-as:
\(y = 0 \quad \Rightarrow \quad x^2(x - 5) = 0 \quad \Rightarrow \quad x = 0 \text{ of } x = 5\)
2. Snijpunten met de y-as:
\(y = f(0) = 0^3 - 5 \cdot 0^2 = 0\)
3. Horizontale asymptoten:
Geen horizontale asymptoten, want:
Voor \(y = \lim x \to + \infty\) geldt dat \(y \to + \infty\).
Voor \(y = \lim x \to - \infty\) geldt dat \(y \to - \infty\).
Omdat dit geen constante waarde nadert, is er geen horizontale asymptoot.
4. Verticale asymptoten:
Geen.
5: Minima en maxima:
De afgeleide is \(f'(x) = 3x^2 - 10x\).
Gelijkstellen aan 0 om de minima en maxima te bepalen:
\(f'(x) = 3x^2 - 10x = 0\)
\(x(3x - 10) = 0\)
\(x = 0\) of \(3x = 10 \quad \Rightarrow \quad x = 10/3\)
De y-waarde op \(x = 0\) is:
\(f(0) = 0\)
De y-waarde op \(x = 10/3\) is:
\(f(\frac{10}{3}) = (\frac{10}{3})^3-5\cdot(\frac{10}{3})^2 = - \frac{500}{27}\)
\(y = 0 \quad \Rightarrow \quad x^2(x - 5) = 0 \quad \Rightarrow \quad x = 0 \text{ of } x = 5\)
2. Snijpunten met de y-as:
\(y = f(0) = 0^3 - 5 \cdot 0^2 = 0\)
3. Horizontale asymptoten:
Geen horizontale asymptoten, want:
Voor \(y = \lim x \to + \infty\) geldt dat \(y \to + \infty\).
Voor \(y = \lim x \to - \infty\) geldt dat \(y \to - \infty\).
Omdat dit geen constante waarde nadert, is er geen horizontale asymptoot.
4. Verticale asymptoten:
Geen.
5: Minima en maxima:
De afgeleide is \(f'(x) = 3x^2 - 10x\).
Gelijkstellen aan 0 om de minima en maxima te bepalen:
\(f'(x) = 3x^2 - 10x = 0\)
\(x(3x - 10) = 0\)
\(x = 0\) of \(3x = 10 \quad \Rightarrow \quad x = 10/3\)
De y-waarde op \(x = 0\) is:
\(f(0) = 0\)
De y-waarde op \(x = 10/3\) is:
\(f(\frac{10}{3}) = (\frac{10}{3})^3-5\cdot(\frac{10}{3})^2 = - \frac{500}{27}\)
f. \(y=\frac{4x}{x+2}+4\)
1. Snijpunten met de x-as:
\(y = 0 \quad \Rightarrow \quad \frac{4x}{x+2} + 4 = 0 \quad \Rightarrow \quad \frac{4x}{x+2} = -4 \Rightarrow\)
\(4x = -4(x+2) \Rightarrow 4x = -4x - 8 \Rightarrow 8x = -8 \Rightarrow\)
\(x = -1\)
2. Snijpunten met de y-as:
\(y = f(0) = \frac{4\cdot0}{0+2}+4 = 4\)
3. Horizontale asymptoten:
Dit is een rationale functie, dus we kunnen het stappenplan daarvoor gebruiken:
i) De hoogste macht van \(x\) is \(x\).
ii) Delen door \(x\) geeft \(\frac{\frac{4x}{x}}{\frac{x}{x}+\frac{2}{x}}+4 = \frac{4}{1+\frac{2}{x}}+4\).
iii) De limiet wordt dan: \(\frac{4}{1+0} + 4 = 8\)
4. Verticale asymptoten:
Er is sprake van een verticale asymptoot als er een waarde voor \(x\) is waarbij de noemer 0 is, dus \(x+2 = 0 \Rightarrow x = -2\)
5: Minima en maxima:
De afgeleide is \(f'(x) = \frac{8}{(x+2)^2}\). Dit kan nooit gelijk zijn aan 0, dus deze functie heeft geen minima of maxima.
\(y = 0 \quad \Rightarrow \quad \frac{4x}{x+2} + 4 = 0 \quad \Rightarrow \quad \frac{4x}{x+2} = -4 \Rightarrow\)
\(4x = -4(x+2) \Rightarrow 4x = -4x - 8 \Rightarrow 8x = -8 \Rightarrow\)
\(x = -1\)
2. Snijpunten met de y-as:
\(y = f(0) = \frac{4\cdot0}{0+2}+4 = 4\)
3. Horizontale asymptoten:
Dit is een rationale functie, dus we kunnen het stappenplan daarvoor gebruiken:
i) De hoogste macht van \(x\) is \(x\).
ii) Delen door \(x\) geeft \(\frac{\frac{4x}{x}}{\frac{x}{x}+\frac{2}{x}}+4 = \frac{4}{1+\frac{2}{x}}+4\).
iii) De limiet wordt dan: \(\frac{4}{1+0} + 4 = 8\)
4. Verticale asymptoten:
Er is sprake van een verticale asymptoot als er een waarde voor \(x\) is waarbij de noemer 0 is, dus \(x+2 = 0 \Rightarrow x = -2\)
5: Minima en maxima:
De afgeleide is \(f'(x) = \frac{8}{(x+2)^2}\). Dit kan nooit gelijk zijn aan 0, dus deze functie heeft geen minima of maxima.
Warning: Removed 91 rows containing missing values or values outside the scale range
(`geom_line()`).Warning: Removed 38 rows containing missing values or values outside the scale range
(`geom_line()`).
a.
Als er geen vossen zijn, geldt \(V=0\), dus:
\(K=a-b\cdot0\)
\(K=a\)
Het aantal konijnen \(K\) is dan gelijk aan \(a\). Als er wel vossen zouden zijn, wordt de negatieve term \(b\cdot V\) groter. Het aantal konijnen neemt dan af en zal in aanwezigheid van vossen dus altijd kleiner zijn dan \(a\).
\(K=a\)
Het aantal konijnen \(K\) is dan gelijk aan \(a\). Als er wel vossen zouden zijn, wordt de negatieve term \(b\cdot V\) groter. Het aantal konijnen neemt dan af en zal in aanwezigheid van vossen dus altijd kleiner zijn dan \(a\).
b.
c.
\(K = a - b\cdot V\)
\(K + b\cdot V =a\)
\(b\cdot V = a - K\)
\(V = \frac{a-K}{b}\)
Het schetsen van deze functie geeft precies dezelfde grafiek als in b.
\(K + b\cdot V =a\)
\(b\cdot V = a - K\)
\(V = \frac{a-K}{b}\)
Het schetsen van deze functie geeft precies dezelfde grafiek als in b.
d.
Het maakt niet uit of je de functie herschrijft, de grafiek ziet er precies hetzelfde uit als de assen hetzelfde bijven. Vaak is het echter wel het makkelijkste om de grafiek te tekenen als je de variabele die je op de y-as wilt zetten (dus de vossen in dit geval) aan de linkerkant in de formule hebt staan, zoals het geval is in opdracht c. Het kan daarom nuttig zijn om een functie te herschrijven, maar het verandert niks aan de uitkomst.
Antwoorden oefenvragen (“oefen-tentamen”)
Meerkeuzevragen:
E
C
B
B
B
C
B
A
A
D
Open vragen:
Hier moet je de functie voor afleiden. De afgeleide van \(3x^2\)is \(6x\), dus bij \(x=2\) is de hellingshoek \(12\). Het antwoord dat je zou moeten invullen is dus 12.
Elke exponent kun je opschrijven als een logaritme. Je kunt hier dus schrijven \(x+1 = {^2log{(16)}} = 4\). Als \(x+1\) gelijk is aan 4, is x gelijk aan 3. Het antwoord dat je zou moeten invullen is dus 3.
Boven de breuk staat een vermenigvuldiging met \(x\), dus als \(x\) naar 0 gaat, gaat de teller naar 0. De noemer gaat naar 2, dus er staat dan \(0 \over 2\), wat 0 is. Het antwoord dat je zou moeten invullen is dus 0.
Grafiek matchen:
Het goede antwoord is A, omdat de functie sowieso een verticale asymptoot moet hebben bij \(x=a\), want als \(x\) en \(a\) aan elkaar gelijk zijn delen we door \(0\). Omdat alleen grafiek A deze asymptoot heeft, zijn we al klaar. Het antwoord is A, en al het andere is afleiding ;)