4  Algebra

4.1 Introductie

Een vergelijking is een wiskundige relatie die één of meerdere onbekende variabelen bevat (in de introductie was dit de fractie energie die de spitsmuis tijdens het slapen verbruikt, wat we \(x\) hadden genoemd). We kunnen erachter komen wat de waarde van deze onbekende variabele is door de vergelijking op te lossen. Dit hoofdstuk geeft meer informatie over het oplossen van vergelijkingen.

4.2 Volgorde van bewerkingen

Wiskundige bewerkingen worden altijd in de volgende vaste volgorde uitgewerkt:

  1. haakjes
  2. machtsverheffen en worteltrekken
  3. vermenigvuldigen en delen
  4. optellen en aftrekken

Een ezelsbruggetje om deze volgorde te onthouden is “Hoe Moeten Wij Van De Onvoldoendes Afkomen?”1. Bewerkingen die op dezelfde rang staan zijn gelijkwaardig en worden van links naar rechts uitgevoerd.

4.3 Vergelijkingen met één onbekende

In wiskundige vergelijkingen zijn we vaak geïnteresseerd in de waarde van één of meerdere onbekenden. Als we bijvoorbeeld de vergelijking \(2x = 4\) hebben, willen we graag weten voor welke waarde van \(x\) dit geldt. Deze vergelijking is zo simpel dat je het misschien meteen ziet: als \(x\) gelijk is aan \(2\), staat er \(2 \cdot 2\), en klopt de vergelijking. Maar het is niet altijd eenvoudig om direct af te lezen welke waarde \(x\) moet hebben om de vergelijking kloppend te maken. Hoe lossen we bijvoorbeeld de vergelijking \(3x +2 = 7\) of \(2(x-8) = -10 - x\) op? Allereerst is het belangrijk om te begrijpen dat deze vergelijkingen lineaire verbanden beschrijven.

Lineaire verbanden

In een lineaire verband komen geen kwadraten of hogere machten in voor. We kunnen een lineair verband opschrijven in de algemene vorm \(y = ax + b\). Hierbij zijn \(x\) en \(y\) de variabelen, en \(a\) en \(b\) de parameters. De parameter \(a\) zegt iets over hoe snel \(y\) toeneemt of afneemt als een functie van \(x\). De parameter \(b\) defineert de beginwaarde, oftewel de waarde van \(y\) als \(x\) gelijk is aan nul. Deze relatie tussen \(x\) en \(y\) kunnen we nu weergeven in een assenstelsel:

Figuur 4.1: Interactieve Desmos-plot van een lineair verband.Verander zelf de waarden voor a en b!

De rechte lijn in de grafiek geeft aan dat we te maken hebben met een lineair verband.

Vergelijking oplossen

Om vergelijkingen op te lossen maken we gebruik van simpele algebraïsche handelingen, waarvan de balansmethode de meest belangrijke is: zo lang je aan beide kanten van het \(=\) teken dezelfde bewerkingen doet, blijft de vergelijking altijd gelden. Als je aan beide kanten van het \(=\) teken dezelfde hoeveelheid optelt, aftrekt, of met dezelfde hoeveelheid vermenigvuldigt, is er feitelijk niets veranderd. Om lineaire vergelijkingen op te lossen kun je gebruik maken van het volgende stappenplan:

Stappenplan lineaire vergelijkingen:

  1. Haakjes uitwerken.

  2. Alles met de variabele naar links.

  3. Alles zonder de variabele naar rechts.

  4. Delen door het getal voor de variabele.

Voorbeeld: \(2(x-8) = - 10 - x\)

  1. \(2x-16 = - 10 - x\)

  2. Aan beide kanten x optellen: \(3x-16 = - 10\)

  3. Aan beide kanten 16 optellen: \(3x = 6\)

  4. Aan beide kanten delen door 3: \(x = {6 \over 3} \rightarrow x = 2\)

Kwadratische verbanden

Een kwadratisch, of tweedegraads, verband heeft de vorm \(y = ax^2 + bx + c\).

Figuur 4.2: Interactieve Desmos-plot van een kwadratisch verband. Verander de waarden van a, b en c en kijk wat er gebeurt met de vorm van de grafiek!

Het oplossen van een kwadratische vergelijking kan op verschillende manieren. Stel je allereerst voor dat \(c = 0\). In dit geval bevatten alle termen \(x\), en kunnen we \(x\) buiten haakjes halen. Je krijgt dan twee oplossingen, waarvan er altijd één is waarbij \(x=0\) (dit kun je ook zien aan bovenstaande grafiek, waarbij \(c=0\) altijd een snijpunt in de oorsprong geeft). Wiskundig zie je dit ook in het volgende voorbeeld:

Voorbeeld: \(2x^2 + 4x = 0\)

  1. \(x(2x+4) = 0\)

  2. \(x(2x+4)\) is gelijk aan 0, als:

    1. \[ x = 0 \]

      OF

    2. \[2x+4 = 0\] \[2x = -4\] \[x = -4/2\] \[x = -2\]

Dus als \(c=0\), kun je een kwadratische vergelijking nog makkelijk oplossen. Als \(c\) echter niet gelijk is aan \(0\), is er een derde term die geen \(x\) bevat. Je kan \(x\) nu niet buiten haakjes halen, en dus niet op deze manier de kwadratische vergelijking oplossen. We kunnen de vergelijking wel ontbinden in factoren, waarvoor we opzoek gaan naar twee getallen die optellen tot \(b \over a\), en vermenigvuldigen tot \(c \over a\). Dit is het makkelijkst te illustreren met een voorbeeld waar \(a=1\), bijvoorbeeld:

Voorbeeld: \(x^2 - 5x + 6 = 0\)

  1. De getallen \(-2\) en \(-3\) tellen op tot \(-5\), en vermenigvuldigen tot \(6\)

  2. De vergelijking kan dus geschreven worden als \((x-2)(x-3) = 0\)

  3. Als een van de factoren (tussen de haakjes) gelijk is aan \(0\), is de hele vergelijking \(0\)

  4. De twee oplossingen zijn dus \(x=2\) en \(x=3\), want voor die waarden zijn de individuele factoren \(0\)

Echter is het vaak niet zo makkelijk om de twee getallen te vinden die optellen tot \(b \over a\) en vermenigvuldigen tot \(c \over a\). Daarom lossen we vergelijkingen met de vorm \(y = ax^2 + bx + c\) (waarbij \(c \neq 0\)) meestal op met de abc-formule. Deze formule geeft de twee mogelijke oplossingen:

\[\begin{align} x_{1} &= \frac{-b + \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \\ x_{2} &= \frac{-b - \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \end{align}\]

Om het wat korter te houden, kunnen we dit zo opschrijven:

\[\begin{align} x_{1,2} &= \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\\ \end{align}\]

4.4 Sommatieteken

Net zoals de abc-formule hierboven wat korter opgeschreven kon worden, kunnen optellingen van vele getallen vaak ook korter opgeschreven worden door gebruik te maken van een sommatieteken. Neem bijvoorbeeld een vector als \(x = (1, 10, 2, 5, 6)\). Als we al deze elementen zouden willen optellen, kunnen we de volledige reeks uitschrijven:

\[x_1 + x_2 + x_3 + x_4 + x_5\]

In R hebben we geleerd dat we hiervoor sum(x) kunnen gebruiken, maar in wiskundige formules zul je hiervoor een sommatieteken tegenkomen: \(\sum(x_i)\). Deze sommatie stelt dat elke i-de positie van de vector bij elkaar opgeteld moeten worden:

\[\sum(x_i) = 1 + 10 + 2 + 5 + 6\]

Stel nou dat we een vector hebben met heel veel elementen, zoals \(x = c(x_1, x_2, x_3, ..., x_{100})\), waarbij we niet álle elementen bij elkaar op willen tellen, maar alleen de eerste 20 elementen. Ook dit kunnen we aangeven met het sommatieteken, door onder het teken aan te geven bij welk element we beginnen, en erboven tot welk element we doorgaan:

\[\sum_{i=1}^{20}({x_i}) = x_1 + x_2 + x_3 + ... + x_{20}\]

De letter die we bij het sommatieteken gebruiken kan trouwens ook anders zijn dan \(i\), bijvoorbeeld \(j\) of \(k\). Dit kan nodig zijn als je een sommatieteken gebruikt binnen de haakjes van een ander sommatieteken (dit heet “nesten”). Dit kan nuttig zijn als je bijvoorbeeld de som van een matrix wil uitrekenen (de som van de som van kolommen). Soms wordt er ook nog een bewerking uitgevoerd op de elementen in de sommatie, bijvoorbeeld:

\[\sum_{i=1}^{10}({x_{i}}^2)\]

Hierbij wordt elke waarde \(x_i\) gekwadrateerd. Het resultaat is dus de som van de gekwadrateerde waarden. Als de vector bijvoorbeeld \(x = (1, 2, 3, 4)\) is, krijgen we:

\[\sum_{i=1}^{4}{({x_{i}}^2}) = 1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2 = 1 + 4 + 9 + 16 = 30\]

Als laatste kun je \(i\) ook gebruiken op andere manieren (dus niet alleen om elementen uit een vector te selecteren). Zo geeft bijvoorbeeld:

\[\sum_{i=1}^{4}(i) = 1 + 2 + 3 + 4\]

Of geeft

\[\sum_{i=1}^{4}(2^i) = 2^1 + 2^2 + 2^3 + 2^4\]

4.5 Opdrachten

Oefening 4.1

Los de volgende vergelijkingen op:

a.

\(3x + 5 = 11\)

b.

\(x^2 + 2x - 8 = 0\)

c.

\(x^2 - 9 = 0\)

Oefening 4.2

Vereenvoudig de volgende uitdrukking:

\((ax-2by)(3y-4bx)+2b(2ax^2+3y^2)-8xyb^2\)

Oefening 4.3

Los de vergelijkingen op voor de aangegeven variabele (geef je antwoord in de vorm variabele = …):

a. vind \(r\) in: \(3r + 2 - 5(r+1) = 6r+4\)

b. vind \(x\) in: \(x + {4 \over x} =4\)

c. vind \(N\) in: \((b-{N \over k})N=0\)

d. vind \(N\) in: \((b-d(1+{N \over k}))N=0,\;\;d \ne 0;\;k \ne 0\)

e. vind \(N\) in: \((\frac{b}{1+N/h}-d)N=0, \;b \ne 0\)

Oefening 4.4

Schrijf de volgende reeksen op door gebruik te maken van het sommatieteken.

a. \[{x_{11}} + {x_{12}} + {x_{13}}\]

b. \[{x_1}^3 + {x_2}^3 + {x_3}^3 + {x_4}^3\]

c. \[1^2 + 2^3 + 3^4 + 4^5\]

  1. Wellicht kennen jullie ook het ezelsbruggetje “Meneer Van Dale Wacht Op Antwoord”, maar deze bevat geen ‘haakjes’ en zet worteltrekken i.v.m. ouderwetse notaties op de verkeerde plek.↩︎