Bijlage A — Het gemiddelde minimaliseert de kwadratensom

We willen aantonen dat het gemiddelde van een reeks getallen \(x_i\) de kwadratensom minimaliseert. De kwadratensom rond een willekeurig waarde \(m\) wordt gedefinieerd als:

\[ \mathrm{SS}(m) = \sum_i \left(x_i - m\right)^2. \]

De vraag is nu: wat is de waarde van \(m\) die deze som zo klein mogelijk maakt?

Om het minimum te vinden, stellen we de afgeleide van \(\mathrm{SS}(m)\) naar \(m\) gelijk aan nul. De afgeleide van \(\mathrm{SS}(m)\) naar \(m\) is:

\[ % arguments: order of the derivative(optional), function, variable \frac{\mathrm{d}\,^{}\mathrm{SS}(m)}{\mathrm{d}\,m^{}} = -2 \sum_{i=1}^n \left( x_i - m\right). \] (We hebben hiervoor de kettingregel gebruikt.) We herschrijven dit naar:

\[ % arguments: order of the derivative(optional), function, variable \frac{\mathrm{d}\,^{}\mathrm{SS}(m)}{\mathrm{d}\,m^{}} = 2 \sum_{i=1}^n (m - x_i). \]

We stellen deze afgeleide gelijk aan nul om minimum te vinden:

\[ 2 \sum_{i=1}^n (m - x_i) = 0. \] De factor 2 kunnen we wegstrepen. De vergelijking zegt dus eigenlijk dat de som van alle afwijkingen van \(m\) gelijk aan nul moet zijn.

Merk op dat \(\sum_{i=1}^n m = n m\), omdat je \(n\) keer de waarde \(m\) optelt. We kunnen de vergelijking hierboven dus uitwerken tot: \[ n m - \sum_{i=1}^n x_i = 0, \] Oplossen naar \(m\) geeft:

\[ m = \frac{\sum_i x_i}{n} = \overline{x}. \]

Met andere woorden, de waarde van \(m\) die de kwadratensom minimaliseert, is het gemiddelde van de reeks getallen, oftewel \(\overline{x}\). Dit laat zien dat het gemiddelde precies de waarde is die de kwadratensom minimaliseert.