5 Breuken

5.1 Introductie

Veel biologische processen worden wiskundig beschreven met vergelijkingen waarin breuken voorkomen. Dit hoofdstuk beschrijft de belangrijkste rekenregels voor het werken met breuken.

5.2 Rekenregels voor breuken

Een breuk bestaat altijd uit een teller (numerator in het Engels) en een noemer (denominator in het Engels). In de breuk \(\frac{a}{b}\), is a de teller is en b de noemer.

Vereenvoudigen

Als de teller en noemer een vermenigvuldiging met hetzelfde getal bevatten, mag dit getal weggestreept worden:

\[ \frac{ca}{cb} = \frac{a}{b} \]

Hetzelfde geldt als de teller en de noemer een deling door hetzelfde getal bevatten:

\[ \frac{a/c}{b/c} = \frac{a}{b} \]

Deze rekenregel verklaart ook dat bijvoorbeeld \(\frac{4}{8}\) vereenvoudigd mag worden tot \(\frac{1}{2}\) (\(\frac{4}{8} = \frac{4\cdot1}{4\cdot2} = \frac{1}{2}\)).

Vermenigvuldigen

Het vermenigvuldigen van twee breuken gaat volgens de regel “teller keer teller, noemer keer noemer”.

\[ \frac{a}{b}\cdot\frac{c}{d}=\frac{ac}{bd} \]

Tip

Deze regel kun je ook gebruiken als je een breuk vermenigvuldigt met een geheel getal. Het gehele getal kun je schrijven als een breuk met als noemer 1. Bijvoorbeeld:

\[ 5\cdot\frac{2}{7} = \frac{5}{1}\cdot\frac{2}{7} = \frac{5\cdot2}{1\cdot7} = \frac{10}{7} \]

De vuistregel bij het delen door een breuk is: “delen door een breuk is vermenigvuldigen met het omgekeerde”. Dit geldt zowel bij het delen van gehele getallen als bij het delen van breuken.

\[ a\div \frac{b}{c} = a\cdot\frac{c}{b} = \frac{ac}{b} \] \[ \frac{a}{b}\div\frac{c}{d} = \frac{a}{b}\cdot\frac{d}{c} = \frac{ad}{bc} \]

Optellen en aftrekken

Breuken kunnen alleen bij elkaar worden opgeteld als ze gelijknamig zijn (dezelfde noemer hebben).

\[ \frac{a}{b}+\frac{c}{b} = \frac{a+c}{b} \]

Maar hoe los je bijvoorbeeld het volgende probleem op? \[ \frac{a}{b}+\frac{c}{d} \]

Als breuken niet gelijknamig zijn, moeten ze eerst gelijknamig gemaakt worden voordat ze opgeteld kunnen worden. Dit kun je doen door de teller en noemer van de eerste breuk te vermenigvuldigen met de noemer van de tweede breuk, en op dezelfde manier de teller en noemer van de tweede breuk te vermenigvuldigen met de noemer van de eerste breuk.

Dit mag omdat een breuk waarbij de teller en noemer gelijk zijn, altijd 1 is (\(\frac{d}{d}=1\)). Als je een getal vermenigvuldigt met 1 verandert de waarde van het getal niet, je mag dit dus altijd doen. \[ \frac{a}{b} = \frac{a}{b}\cdot\frac{d}{d} = \frac{ad}{bd} \] \[ \frac{c}{d} = \frac{c}{d}\cdot\frac{b}{b} = \frac{bc}{bd} \]

Zoals je ziet, zijn beide breuken nu gelijknamig en mogen we ze dus optellen. Dit doen we door de tellers bij elkaar op te tellen, terwijl de noemer hetzelfde blijft.

\[ \frac{a}{b}+\frac{c}{d} = \frac{ad}{bd}+\frac{bc}{bd} = \frac{ad + bc}{bd} \]

Dezelfde regels gelden voor het aftrekken van breuken: als de breuken gelijknamig zijn mag je de tellers van elkaar aftrekken. Zijn ze niet gelijknamig? Dan moet je ze eerst gelijknamig maken zoals hierboven beschreven.

Breuken uit een vergelijking halen

Soms kan het handig zijn om een vergelijking met een breuk erin om te schrijven, zodat de breuk verdwijnt. Dit kun je doen door de vergelijking aan de rechter- en linkerkant van het = teken te vermenigvuldigen met de noemer van de breuk. Doordat je beide kanten van het is-teken vermenigvuldigt met hetzelfde getal, blijft de vergelijking kloppend.

\[ \frac{a}{b} = cx \] \[ a = bcx \]

Samengevat, zijn de rekenregels voor breuken:

Rekenregel	Voorbeeld
\(\frac{ca}{cb} = \frac{a}{b}\)	\(\frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 4} = \frac{3}{4}\)
\(\frac{a/c}{b/c} = \frac{a}{b}\)	\(\frac{3 / 2}{4 / 2} = \frac{3}{4}\)
\(\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{ac}{bd}\)	\(\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{4} = \frac{1 \cdot 3}{2 \cdot 4} = \frac{3}{8}\)
\(a \div \frac{b}{c} = a \cdot \frac{c}{b} = \frac{ac}{b}\)	\(2 \div \frac{3}{4} = 2 \cdot \frac{4}{3} = \frac{2 \cdot 4}{3} = \frac{8}{3}\)
\(\frac{a}{b} \div \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \cdot \frac{d}{c}\)	\(\frac{1}{2} \div \frac{3}{4} = \frac{1}{2} \cdot \frac{4}{3} = \frac{4}{6}\)
\(\frac{a}{b} +\frac{c}{b} = \frac{a+c}{b}\)	\(\frac{1}{4} +\frac{2}{4} = \frac{3}{4}\)
\(\frac{a}{b} +\frac{c}{d} = \frac{ad}{bd} +\frac{bc}{bd} = \frac{ad+bc}{bd}\)	\(\frac{1}{2} +\frac{3}{4} = \frac{1\cdot 4}{2\cdot 4} +\frac{2\cdot 3}{2\cdot 4} = \frac{4+6}{8} = \frac{12}{8}\)

Voorbeelden

Probeer eerst zelf de vergelijkingen op te lossen voordat je naar de uitleg kijkt!

Los de volgende vergelijking op: \(\frac{2}{x+3}=5\).

Door aan beide kanten met \(x+3\) te vermenigvuldigen verwijderen we de breuk \(2 = 5(x+3)\). Haakjes uitwerken geeft \(2 = 5x + 15\). We kunnen de term met \(x\) erin isoleren door aan beide kanten van het is-teken \(15\) af te trekken. Dit geeft: \(2-15 = 5x\) oftewel \(-13 = 5x\). Delen door \(5\) geeft: \(x = -\frac{13}{5}\).

Los de volgende vergelijking op: \(\frac{2}{5x}+\frac{3}{4} = 0.5\).

Dit kan op twee verschillende manieren. De eerste manier is het meest eenvoudig, maar voor de volledigheid staat manier twee ook in de uitleg.

Eerst de breuken optellen. Om dit te doen moeten de breuken eerst dezelfde noemer hebben: \(\frac{2\cdot4}{5x\cdot4} + \frac{3\cdot5x}{4\cdot5x} = 0.5\) oftewel \(\frac{8}{20x} + \frac{15x}{20x} = 0.5\). Nu kunnen we de breuken optellen: \(\frac{8+15x}{20x} = 0.5\). Daarna kunnen we de breuk weghalen door aan beide kanten te vermenigvuldigen met \(20x\), dan krijgen we: \(8+15x = 10x\). Door aan beide kanten \(15x\) af te trekken krijgen we \(8 = -5x\) oftwel \(x = -\frac{8}{5}\).
Meteen de breuk met x isoleren door aan beide kanten \(\frac{3}{4}\) af te trekken: \(\frac{2}{5x} = 0.5-\frac{3}{4}\). We kunnen \(0.5\) vervolgens als een breuk schrijven om de twee getallen aan de rechterkant van elkaar af te trekken: \(\frac{2}{5x} = \frac{1}{2}-\frac{3}{4}\). Gelijknamig maken van deze breuken geeft: \(\frac{2}{5x} = \frac{1\cdot4}{2\cdot4}-\frac{3\cdot2}{4\cdot2}\) oftewel \(\frac{2}{5x} = \frac{4}{8}-\frac{6}{8}\). Nu kunnen we de breuken van elkaar aftrekken: \(\frac{2}{5x} = -\frac{2}{8}\). In zo’n situatie, waarbij er aan beide kanten van het is-teken enkel een breuk staat, mag je de noemer van de eerste breuk vermenigvuldigen met de teller van de andere breuk, en vice versa: \(2 = -\frac{2\cdot5x}{8}\) en \(2\cdot8 = -2\cdot5x\). Dit geeft \(16 = - 10x\). Dus \(x = -\frac{16}{10}\), en vereenvoudigd \(x = -\frac{8}{5}\).

5.3 Opdrachten

Oefening 5.1

Reken de volgende breuken uit, en vereenvoudig waar mogelijk:

a. \(\frac{1}{7}\cdot\frac{2}{4}\)

b. \(\frac{1}{6}-\frac{2}{3}\)

c. \(\frac{2}{3}\div\frac{4}{5}\)

d. \(\frac{4}{12}+\frac{5}{36}\)

Oefening 5.2

De familie Jansen heeft een inkomen van 2400 euro. Ze besteden \(\frac{1}{3}\) van het inkomen aan hun hypotheek, \(\frac{1}{7}\) aan boodschappen en \(\frac{1}{4}\) aan gas, water en elektriciteit. Ze krijgen \(\frac{1}{3}\) van hun hypotheekbetalingen terug van de belastingdienst. Hoe veel geld houdt familie Jansen elke maand over? Reken dit uit door alle breuken eerst samen te voegen tot één breuk.

Oefening 5.3

Schrijf als één breuk:

\(\frac{6}{r} - \frac{5r}{30r+5}\)

Oefening 5.4

Los op voor x:

\(\frac{a}{b}x - \frac{c}{d} = \frac{e}{f}\)

Oefening 5.5

Los op voor A:

\(25A\div\frac{3}{7} = 12 - \frac{1}{3}A\)